Integrais Duplas

As integrais simples são utilizadas no Calculo Diferencial e em outras disciplinas para diversos fatores, tanto para Calculo de Área, fenômenos físicos, químicos, entre outros. As integrais duplas utilizam a notação de duas integrais sequenciais em diferentes ordens de integração para calculo de fenômenos em 3-D, das quais mais aplicadas para calculo de volume.

As integrais duplas podem ser calculadas por aproximação (Séries, Soma de Riemann, Calculo por métodos numéricos como o da Fórmula de Simpson (1/3) entre outros ), entretanto o resultado de uma integral dupla referencia a um produto, pois a integral é analogamente um produto.

Para o calculo de volume, é necessário que os limites de integração estejam definidos de forma a limitar o calculo de determinada área em uma base qualquer (xy ou yz ou xz), seja os limites numéricos ou seja por funções.

Existem dois modelos de integrais duplas, que são:

ou

Segue exemplo de calculo de uma integral dupla para calculo de volume:

Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos lados 5,2,3 dado que o retangulo 3x2 está no plano xy.

Redesenhando o retângulo no plano xy é possível observar a seguinte imagem:

Os limites da integral são fáceis de se observar pois sempre parte do valor mais negativo para o valor mais positivo, logo em x parte da esquerda para a direita e no y parte de baixo para cima, portanto os limites expostos ficam:

Soma de integrais duplas

Entretanto, existem casos que o domínio da integral dupla possui dois ou múltiplos limites de integração, logo a mesma necessita da soma de múltiplas integrais duplas.

Exemplo: Calcule a integral dupla para o calculo de volume do domínio a seguir em relação ao plano z=5x.

DOMÍNIO: x=(3-y)^1/2 (parábola, pois -x^2 + 3= y); y=2x(reta); x+y+3=0 (reta)

Com o domínio visto, temos que no primeiro momento, os limites de integração em dydx vai da reta x+y+3=0 até a reta y=2x; entretanto do ponto (1,2) observa-se que os limites de integração não vão mais de RETA A RETA e sim de RETA A PARÁBOLA caracterizando uma mudança do limites de integração, portanto uma soma de integrais duplas.