Mudanças de Variáveis para Integrais Duplas

Em alguns casos, as integrais duplas são difíceis de calcular ou mesmo, dependendo da ordem de integração, recai em uma soma de integrais duplas, das quais são muito trabalhosas.

Segue então a teoria e alguns exemplos de mudanças de variáveis, tanto a mudança RETANGULAR quanto a mudança POLAR.

Integrais Duplas

As integrais simples são utilizadas no Calculo Diferencial e em outras disciplinas para diversos fatores, tanto para Calculo de Área, fenômenos físicos, químicos, entre outros. As integrais duplas utilizam a notação de duas integrais sequenciais em diferentes ordens de integração para calculo de fenômenos em 3-D, das quais mais aplicadas para calculo de volume.

As integrais duplas podem ser calculadas por aproximação (Séries, Soma de Riemann, Calculo por métodos numéricos como o da Fórmula de Simpson (1/3) entre outros ), entretanto o resultado de uma integral dupla referencia a um produto, pois a integral é analogamente um produto.

Para o calculo de volume, é necessário que os limites de integração estejam definidos de forma a limitar o calculo de determinada área em uma base qualquer (xy ou yz ou xz), seja os limites numéricos ou seja por funções.

Existem dois modelos de integrais duplas, que são:

ou

Segue exemplo de calculo de uma integral dupla para calculo de volume:

Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos lados 5,2,3 dado que o retangulo 3x2 está no plano xy.

Redesenhando o retângulo no plano xy é possível observar a seguinte imagem:

Os limites da integral são fáceis de se observar pois sempre parte do valor mais negativo para o valor mais positivo, logo em x parte da esquerda para a direita e no y parte de baixo para cima, portanto os limites expostos ficam:

Soma de integrais duplas

Entretanto, existem casos que o domínio da integral dupla possui dois ou múltiplos limites de integração, logo a mesma necessita da soma de múltiplas integrais duplas.

Exemplo: Calcule a integral dupla para o calculo de volume do domínio a seguir em relação ao plano z=5x.

DOMÍNIO: x=(3-y)^1/2 (parábola, pois -x^2 + 3= y); y=2x(reta); x+y+3=0 (reta)

Com o domínio visto, temos que no primeiro momento, os limites de integração em dydx vai da reta x+y+3=0 até a reta y=2x; entretanto do ponto (1,2) observa-se que os limites de integração não vão mais de RETA A RETA e sim de RETA A PARÁBOLA caracterizando uma mudança do limites de integração, portanto uma soma de integrais duplas.