Cônicas -
As circunferências fazem parte do estudo de cônicas e ainda é uma matéria muito cobrada nos vestibulares, principalmente a partir do novo formato da fuvest que começou no ano de 2008 e, sem dúvida com a modificação do ENEM como instrumento de peso para aprovação nas melhores faculdades do país, será uma matéria importante a ser analisada.
Bem, ao iniciar o estudo de circunferências, devemos observar os pontos principais da circunferência, que são o Centro (Xa, Ya) e o raio que determina o "tamanho" da circunferência. Com esses dados, chegamos que a equação geral da circunferência vale:
(x - Xa)² + (y - Ya)² = R² (Equação simplificada da circunferência)
x² + y² - 2Xax - 2Yay- Xa² + Ya² - R² = 0 (Equação geral da circunferência)
A equação reduzida da circunferência funciona apenas como uma forma mais "contraída" de entendimento da equação, entretanto a forma mais correta de aparecer está na forma geral pois existem muitos casos em que a circunferência não se encontra no encontro dos eixos P(0,0).
Exemplo: A circunferência está no ponto (3,2) e o raio vale 5, logo demonstre na equação geral e na equação reduzida.
Logo, (x-3)² + (y-2)² = 25; e para realizarmos a demonstração da equação geral basta realizar a distributiva:
x² - 6x + 9 + y² -4y + 4 - 25 = 0 .: x² + y² - 6x -4y -12 = 0
Entretanto, existem casos que é necessário retornar da equação geral para a equação simplificada mas não são dados nenhuma informação sobre a equação. Existem duas formas de resolução desse tipo de exercício
Exemplo: Dado x² + y² - 2x - 3y - 3/2 = 0, ache o centro e o raio
1ª Separar fatores de mesmo termo
X² - 2x + Y² - 3y - 3/2 = 0 .:
Para relembrar, vimos que a equação geral vale
(x - Xa)² + (y - Ya)² = R²
logo, (x - Xa) * (x - Xa) + (y - Ya) * (y - Ya) = R²
Basta observar que os valores separados são exatamente as respostas
2ª Igualar os fatores a equação simplificada
X² - 2x = (x - ....) + (x - ....); logo os espaços vazios podem ser preechidos com Xa = 1 pois
X² - 2x +1 = (X-1)²
Y² - 3y = (y - ...) + (y - ....); nesse caso ficou um pouco mais dificil, mas o valor encontrado é Ya = 3/2 pois Y² - 3y + 9/4 = (y-3/2)²
3ª Voltar a equação com os novos valores que não contêm na fórmula geral, que são os valores +1 e +3/2
(x - 1) ² + (y- 3/2) + (1 + 9/4 -3/2) = 0 .: (x - 1) ² + (y - 3/2)² = 19/4
Logo R² = 19/4 .: R = Raiz de 19 /2.
Para os mesmos resultados existem uma segunda forma, na qual:
X² + y² - 2Xax - 2Yay - Xa² + Ya² - R² = 0
Com a equação de base do exercício:
x² + y² - 2x - 3y - 3/2 = 0
O valor que multiplica x e y são os valores 2Xa e 2Ya (lembrando que Xa e Ya são x e y do centro)
Portanto:. Xa = 2/2 = 1; Ya = 3/2
O raio pode ser deduzido a partir da equação principal e a função vale Xa² + Ya² - R² = 3/2
1² + 3/2 ² -R² = 3/2
Resolvendo a equação, temos que R² = 19/4
Não são circunferências quando:
* Se existir termo diferente da equação geral como (xy);
*Se os valores que multiplicam x² e y² forem diferentes. :Exemplo (3x² - y²);
*Se o raio for menor que zero, ou seja, na equação simplificada a igualdade for negativa (exemplo : x² - (y-2)² = -15;
Exercício: Determine se existe pontos de intersecção das circunferências abaixo e a equação da reta que une os pontos de intersecção (Se existir)
Y1 : X² + Y² - 2x - 10y + 22 = 0
Y2 : X² + Y² - 8x -4y + 10 = 0
Como são pontos de intersecção, existe coincidência entre as equações, logo basta realizar um sistema entre as equações ou simplesmente igualar
X² + Y² - 2x - 10y + 22 = X² + Y² - 8x -4y + 10 .: resolvendo
6x - 6y + 12 = 0 .: Divindo tudo por 6 temos x - y + 2 = 0 logo y = x + 2(equação da reta).
Agora basta substituir em qualquer uma das equações
Escolhendo a primeira temos
X² + (x + 2)² - 2x -10(x+2) + 22 = 0
temos que X´=3 e X´´ = 1
Para cada X existe um Y respectivo, basta substituir em y = x + 2.
Logo, Y´ = 5 e Y´´ = 3; portanto os pontos vale (3,5) e (1,3).
Caso ainda haja duvidas o espaço de perguntas encontra-se abaixo
Andrey J.
ou
