Estudo de Cônicas - Hipérbole

Hipérbole - A hipérbole, igual a Elipse, possui formato das fórmulas semelhante, entretanto o formato e o desenho da hipérbole é totalmente diferente. O desenho abaixo demonstra a hipérbole no sistema de eixos cartesianos.

Sendo:

2c - Distância focal

2a - Eixo maior

2b - Eixo menor

y - y0 = +- b/a (x - x0) (Assíntotas da hipérbole)

Como explicado na elipse, a hipérbole também possui uma fórmula própria e vale

X² / a² - y² / b² = 1 (equação reduzida)

c² = a² + b²

No caso da hipérbole, não existe excentricidade entretanto como demonstrado existe um fator determinado assíntotas que são as retas que cruzam internamente a hipérbole e que são equações de reta determinadas pela função de geometria analítica ( y - y0 = m (x - x0) ) e como m vale b/a basta substituir na equação.

Existe também o caso em que b é maior que a, logo a hipérbole está na vertical mas a fórmula não modifica somente muda o aspecto gráfico da mesma.

Como na elipse, existe o fator de Rotação e Translação, mas para efeito de estudo iremos analisar apenas a translação do centro da hipérbole.

Exemplo: Dada a equação 4x² - 16y² - 8y -33 = 0, determine foco, assíntotas, centro da hipérbole, equação reduzida, eixo maior e menor da hipérbole

Como os quadrados de x e y estão sendo subtraídos (4x² - 16y²) podemos afirmar que a cônica é uma hipérbole, agora basta saber o deslocamento dessa hipérbole.

Como o deslocamento é uma soma ao termo x ou y, podemos afirmar que

x = h + a (A incógnita a vale o deslocamento horizontal)

y = v + b (A incógnita b vale o deslocamento vertical)

Substituindo na equação, temos:

4 (h + a)² - 16 (v + b)² - 8(v + b) - 33 = 0

4h² + 8ha + 4a² - 16v² - 32vb - 16b² - 8v - 8b - 33 = 0 .: O objetivo é fazer voltar a hipérbole para a origem, portanto temos que igualar h e v a zero para assim descobrir o deslocamento de a e b na horizontal e vertical respectivamente.

4h² + 4a² - 16v² - 16b² + h (8a) + v(-32b - 8) - 8b - 33 = 0

8a = 0 .: a = 0

-32b - 8 = 0 .: b = -1/4

Voltando a fórmula aplicando os valores de a e b temos:

4h² - 16v² + 4(0)² - 16 (-1/4)² + v(0) + h(0) - 8 (-1/4) -33 = 0

4h² -16v² - 1 + 2 - 33 = 0

4h² - 16v² = 32 (dividindo tudo por 32)

h² / 8 - v² / 2 = 1

Temos que x = h + a logo h = x - a e y = v + b logo v = y - b

x² / 8 - (y+1/4)² / 2 = 1 (Equação reduzida)

Pela equação temos que a² = +-8 .: a = +-2√2 e b² = 2 portanto b = √2

Como c² = a² + b² .: c = +-√10

Assíntotas da hipérbole:

y - y0 = +- √2 / 2√2 (x - x0)

logo y + 1/4 = +- √2 / 2√2

O centro da hipérbole vale (0, -1/4)

O esboço do gráfico está abaixo.

Feito por Andrey J.

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