Gráficos - Talvez uma grande dificuldade que existe para muitos é confeccionar gráficos pois nem sempre é possivel obter pontos dos eixos. Por isso, o conceito de derivada possibilita fazer gráficos de qualquer expoente ou mesmo com logarítmico, exponencial ou potência de potência.
Vejamos a seguinte equação:
f(x) = -X³ + 3x + 2; como é uma equação do terceiro grau, podemos afirmar que a forma de onda tende a ser uma parábola
Ao aplicar a primeira derivada, a resposta será um estudo do sinal, ou seja, a partir dela será possivel observar os pontos de máximo e mínimo.
d/dx -3x² + 3 1ª derivada
Igualando ela a zero, teremos os pontos em que y=0. Analisando a função, observamos que é uma função do segundo grau de concavidade para baixo, portanto:
Logo, -3x² + 3 = 0 temos que x = + ou - 1
Com o esboço do desenho acima, observa que para x<-1 e x>1 o gráfico é estritamente decrescente e para x entre -1 e 1 é estritamente crescente
Para localizar o ponto, deve substituir os valores de x na equação principal, ou seja, na equação que necessita advinhar o gráfico.:
.: 2 + 3(-1) - (-1)³ = 0, portanto o ponto (-1,0) é minimo da função
.: 2 + 3(1) - (1)³ = 4, portanto o ponto (1,4) é ponto de máximo
Tendo os pontos de máximo e mínimo, devemos encontrar na função os locais de mudança de concavidade e o ponto de inflexão, ou seja, o ponto que determina a mudança de concavidade. A concavidade interfere no aspecto do desenho do gráfico.A segunda derivada da função remete a essa resposta
d/dx² -6x 2ªderivada
Igualando a segunda derivada a zero, encontramos o x de inflexão, portanto:
-6x = 0 .: x = 0
Analisando a função -6x, observamos que a mesma é uma reta decrescente, portanto para x maior que 0 a mesma é negativa e para x menor que 0 é sempre positiva, logo quando a mesma for positiva, afirmamos que é concava para cima, enquanto a mesma for negativa, a função terá concavidade para baixo.
Tendo o x de inflexão (x=0), basta aplicar esse valor de x na equação principal.
f(0) = 2 + 3(0) - (0)³ = 2, logo o ponto de inflexão vale (0,2)
Portanto, temos as seguintes informações do gráfico:
PONTO DE MÁXIMO .: (1,4)
PONTO DE MÍNIMO .: (-1,0)
PONTO DE INFLEXÃO .: (0,2)
PARA X menor que 0 (f (x) É CÔNCAVA PARA CIMA)
PARA X maior que 0 (f (x) É CÔNCAVA PARA BAIXO)
Basta realizar o desenho do gráfico:
Qualquer dúvida postem no espaço de perguntas
Caro senhor, a muito tempo procuro um programa que possa calcular/encontrar a linha de inflexão mais provável de uma superfície, ex. um shape de um violino, atiráveis da analise das linha/curvas de nível onde existe côncavo e convexo, eu gostaria de saber senhor pode me ajudar de alguma forma, muito obrigado Ivan
ResponderExcluirInfelizmente não conheço esse tipo de programa, mas existe alguns calculos indiretos que chegam a esse valor. O mesmo foge um pouco da minha área.
ResponderExcluirConheço um programa de Calculo numérico chamado Matlab e que possue milhões de ferramentas matemáticas, talvez possua algo de seu interesse
Gostaria de saber se esses passos são suficientes para construção de todos os gráficos de qualquer função ou só para as funções polinomiais, visto que são sempre contínuas. É necessário encontrar as assíntotas ou o domínio no caso das outras funções como as trigonométricas e racionais?
ResponderExcluirFaltou só calcular os limites qdo a função tende para +oo e -oo. Mas a explicação foi muito boa e me quebrou um galhão, pois eu n lembrava mais de jeito algum =D
ResponderExcluirBoa Tarde
ResponderExcluirPreciso de Ajuda em umas questões que faz horas que não consigo. Se alguém puder me ajudar.
1- Esboçar o gráfico das seguintes funções, demonstrando detalhadamente os 8 passos de aplicação de derivadas:
a) y=2x²/(x²-1)
b) 2 - 15x + 9x² - x³
2- O volume de uma célula esférica em crescimento é V = (4πr³)/3, onde o raio r é medido em micrômetros (1μm = 10-6 m).
a) Encontre a taxa de variação média de V em relação a r, quando r varia de:
a1) 5 a 8 μm.
a2) 5 a 6 μm.
a3) 5 a 5,1 μm.
b) Encontra a taxa de variação instantânea de V em relação a r, quando r = 5 μm.
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