Estudo de Cônicas - Elipse

Elipse - O estudo de cônicas continua com mais um capítulo, a Elipse. Pouco cobrada no vestibular, mas que oferece certo nível de dificuldade, a elipse é uma cônica que possui certos parâmetros a serem observados, como a excentricidade, eixos e algumas imposições, como o deslocamento do centro da elipse.

Sendo:

2a - Eixo maior

2b - Eixo menor

2c - Distância entre os focos PF1 e PF2

Colocando um ponto qualquer da elipse, a distância entre os focos e o ponto determinado vale 2a

No entanto, existe uma fórmula apropriada que define uma elipse, que vale:

X² / a² + Y² / b² = 1 (Equação reduzida da elipse)

Sendo que.: a² = b² + c²

Sendo que x = x - xcentro e y = y - Ycentro

A excentricidade de uma elipse é determinada pela razão entre c e a, logo e = c / a.

Caso a excentricidade seja igual a 1 ou nula, a mesma não é uma elipse, mas sim uma Circunferência (Caso análogo quando b=a).

No caso da figura demonstrada, a é sempre maior que b, portanto a elipse está, de forma mais informal, "deitada". Existem caso em que na elipse, b é maior que a, logo a elipse está "em pé", entretanto a fórmula continua a mesma, o que realmente muda está em relação ao eixo maior que passa a ser 2b não mais 2a.

Com relação a elipse, o centro da mesma pode situar-se fora do ponto 0,0 do encontro dos eixos cartesianos ou mesmo a elipse pode sofrer uma modificação no angulo em que está imposta na superfície, denominada Rotação. Em fato, o mais interessante e utilizado está na modificação do centro da elipse, denominada de Translação.

Exemplo : Determine os pontos do centro da elipse e a sua equação reduzida dada

9x² + 5y² + 18x - 30y + 9 = 0

Considerando que o sinal de + que soma os termos quadráticos, podemos afirmar que a mesma é uma elipse e não uma circunferência pois os fatores que multiplicam x² e y² (9 e 5 respectivamente) são diferentes.

Como o deslocamento é uma soma ao termo x ou y, podemos afirmar que

x = h + a (A incógnita a vale o deslocamento horizontal)

y = v + b (A incógnita b vale o deslocamento vertical)

substituindo na equação, temos

9 (h + a)² + 5 (v + b)² + 18 (h +a) - 30(v + b) + 9 = 0 .: Realizando a distributiva temos

9h² + 18ha + 9a² + 5v² + 10vb + 5b² + 18h + 18a - 30v - 30b + 9 = 0.: O objetivo é fazer voltar a elipse para a origem, portanto temos que igualar h e v a zero para assim descobrir o deslocamento de a e b na horizontal e vertical respectivamente.

Portanto, separando termos iguais temos

9h² + 9a² + 5v² + 5b² + h(18a + 18) + v (10b - 30) - 30b + 18a + 9 = 0

Como h e v tem que voltar a origem zero temos:

18a + 18 = 0 .: a = -1

10b - 30 = 0 .: b = 3

Substituindo os valores na equação de a = -1 e b = 3

9h² + 9 (-1)² + 5v² + (3)² + h (0) + v(0) - 30(3) + 18(-1) + 9 = 0

9h² + 5v² + 9 + 9 -90 -18 + 9 = 0

9h² + 5v² = 81 (dividindo tudo por 81)

h²/9 + 5v²/81 = 1

Temos que x = h + a logo h = x - a e y = v + b logo v = y - b

(x + 1)² / 9 + (y-3)² / (81/5) = 1.: o centro da elipse vale (-1, 3)

Feito por Andrey J.

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