Estudo de cônicas - Circunferências

Cônicas - As circunferências fazem parte do estudo de cônicas e ainda é uma matéria muito cobrada nos vestibulares, principalmente a partir do novo formato da fuvest que começou no ano de 2008 e, sem dúvida com a modificação do ENEM como instrumento de peso para aprovação nas melhores faculdades do país, será uma matéria importante a ser analisada.

Bem, ao iniciar o estudo de circunferências, devemos observar os pontos principais da circunferência, que são o Centro (Xa, Ya) e o raio que determina o "tamanho" da circunferência. Com esses dados, chegamos que a equação geral da circunferência vale:

(x - Xa)² + (y - Ya)² = R² (Equação simplificada da circunferência)

x² + y² - 2Xax - 2Yay- Xa² + Ya² - R² = 0 (Equação geral da circunferência)

A equação reduzida da circunferência funciona apenas como uma forma mais "contraída" de entendimento da equação, entretanto a forma mais correta de aparecer está na forma geral pois existem muitos casos em que a circunferência não se encontra no encontro dos eixos P(0,0).

Exemplo: A circunferência está no ponto (3,2) e o raio vale 5, logo demonstre na equação geral e na equação reduzida.

Logo, (x-3)² + (y-2)² = 25; e para realizarmos a demonstração da equação geral basta realizar a distributiva:

x² - 6x + 9 + y² -4y + 4 - 25 = 0 .: x² + y² - 6x -4y -12 = 0

Entretanto, existem casos que é necessário retornar da equação geral para a equação simplificada mas não são dados nenhuma informação sobre a equação. Existem duas formas de resolução desse tipo de exercício

Exemplo: Dado x² + y² - 2x - 3y - 3/2 = 0, ache o centro e o raio

1ª Separar fatores de mesmo termo

X² - 2x + Y² - 3y - 3/2 = 0 .:

Para relembrar, vimos que a equação geral vale

(x - Xa)² + (y - Ya)² = R²

logo, (x - Xa) * (x - Xa) + (y - Ya) * (y - Ya) = R²

Basta observar que os valores separados são exatamente as respostas

2ª Igualar os fatores a equação simplificada

X² - 2x = (x - ....) + (x - ....); logo os espaços vazios podem ser preechidos com Xa = 1 pois

X² - 2x +1 = (X-1)²

Y² - 3y = (y - ...) + (y - ....); nesse caso ficou um pouco mais dificil, mas o valor encontrado é Ya = 3/2 pois Y² - 3y + 9/4 = (y-3/2)²

3ª Voltar a equação com os novos valores que não contêm na fórmula geral, que são os valores +1 e +3/2

(x - 1) ² + (y- 3/2) + (1 + 9/4 -3/2) = 0 .: (x - 1) ² + (y - 3/2)² = 19/4

Logo R² = 19/4 .: R = Raiz de 19 /2.

Para os mesmos resultados existem uma segunda forma, na qual:

X² + y² - 2Xax - 2Yay - Xa² + Ya² - R² = 0

Com a equação de base do exercício:

x² + y² - 2x - 3y - 3/2 = 0

O valor que multiplica x e y são os valores 2Xa e 2Ya (lembrando que Xa e Ya são x e y do centro)

Portanto:. Xa = 2/2 = 1; Ya = 3/2

O raio pode ser deduzido a partir da equação principal e a função vale Xa² + Ya² - R² = 3/2

1² + 3/2 ² -R² = 3/2

Resolvendo a equação, temos que R² = 19/4

Não são circunferências quando:

* Se existir termo diferente da equação geral como (xy);

*Se os valores que multiplicam x² e y² forem diferentes. :Exemplo (3x² - y²);

*Se o raio for menor que zero, ou seja, na equação simplificada a igualdade for negativa (exemplo : x² - (y-2)² = -15;

Exercício: Determine se existe pontos de intersecção das circunferências abaixo e a equação da reta que une os pontos de intersecção (Se existir)

Y1 : X² + Y² - 2x - 10y + 22 = 0

Y2 : X² + Y² - 8x -4y + 10 = 0

Como são pontos de intersecção, existe coincidência entre as equações, logo basta realizar um sistema entre as equações ou simplesmente igualar

X² + Y² - 2x - 10y + 22 = X² + Y² - 8x -4y + 10 .: resolvendo

6x - 6y + 12 = 0 .: Divindo tudo por 6 temos x - y + 2 = 0 logo y = x + 2(equação da reta).

Agora basta substituir em qualquer uma das equações

Escolhendo a primeira temos

X² + (x + 2)² - 2x -10(x+2) + 22 = 0

temos que X´=3 e X´´ = 1

Para cada X existe um Y respectivo, basta substituir em y = x + 2.

Logo, Y´ = 5 e Y´´ = 3; portanto os pontos vale (3,5) e (1,3).

Caso ainda haja duvidas o espaço de perguntas encontra-se abaixo

Andrey J.