Estudo de Cônicas - Hipérbole

Hipérbole - A hipérbole, igual a Elipse, possui formato das fórmulas semelhante, entretanto o formato e o desenho da hipérbole é totalmente diferente. O desenho abaixo demonstra a hipérbole no sistema de eixos cartesianos.

Sendo:

2c - Distância focal

2a - Eixo maior

2b - Eixo menor

y - y0 = +- b/a (x - x0) (Assíntotas da hipérbole)

Como explicado na elipse, a hipérbole também possui uma fórmula própria e vale

X² / a² - y² / b² = 1 (equação reduzida)

c² = a² + b²

No caso da hipérbole, não existe excentricidade entretanto como demonstrado existe um fator determinado assíntotas que são as retas que cruzam internamente a hipérbole e que são equações de reta determinadas pela função de geometria analítica ( y - y0 = m (x - x0) ) e como m vale b/a basta substituir na equação.

Existe também o caso em que b é maior que a, logo a hipérbole está na vertical mas a fórmula não modifica somente muda o aspecto gráfico da mesma.

Como na elipse, existe o fator de Rotação e Translação, mas para efeito de estudo iremos analisar apenas a translação do centro da hipérbole.

Exemplo: Dada a equação 4x² - 16y² - 8y -33 = 0, determine foco, assíntotas, centro da hipérbole, equação reduzida, eixo maior e menor da hipérbole

Como os quadrados de x e y estão sendo subtraídos (4x² - 16y²) podemos afirmar que a cônica é uma hipérbole, agora basta saber o deslocamento dessa hipérbole.

Como o deslocamento é uma soma ao termo x ou y, podemos afirmar que

x = h + a (A incógnita a vale o deslocamento horizontal)

y = v + b (A incógnita b vale o deslocamento vertical)

Substituindo na equação, temos:

4 (h + a)² - 16 (v + b)² - 8(v + b) - 33 = 0

4h² + 8ha + 4a² - 16v² - 32vb - 16b² - 8v - 8b - 33 = 0 .: O objetivo é fazer voltar a hipérbole para a origem, portanto temos que igualar h e v a zero para assim descobrir o deslocamento de a e b na horizontal e vertical respectivamente.

4h² + 4a² - 16v² - 16b² + h (8a) + v(-32b - 8) - 8b - 33 = 0

8a = 0 .: a = 0

-32b - 8 = 0 .: b = -1/4

Voltando a fórmula aplicando os valores de a e b temos:

4h² - 16v² + 4(0)² - 16 (-1/4)² + v(0) + h(0) - 8 (-1/4) -33 = 0

4h² -16v² - 1 + 2 - 33 = 0

4h² - 16v² = 32 (dividindo tudo por 32)

h² / 8 - v² / 2 = 1

Temos que x = h + a logo h = x - a e y = v + b logo v = y - b

x² / 8 - (y+1/4)² / 2 = 1 (Equação reduzida)

Pela equação temos que a² = +-8 .: a = +-2√2 e b² = 2 portanto b = √2

Como c² = a² + b² .: c = +-√10

Assíntotas da hipérbole:

y - y0 = +- √2 / 2√2 (x - x0)

logo y + 1/4 = +- √2 / 2√2

O centro da hipérbole vale (0, -1/4)

O esboço do gráfico está abaixo.

Feito por Andrey J.

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Estudo de Cônicas - Elipse

Elipse - O estudo de cônicas continua com mais um capítulo, a Elipse. Pouco cobrada no vestibular, mas que oferece certo nível de dificuldade, a elipse é uma cônica que possui certos parâmetros a serem observados, como a excentricidade, eixos e algumas imposições, como o deslocamento do centro da elipse.

Sendo:

2a - Eixo maior

2b - Eixo menor

2c - Distância entre os focos PF1 e PF2

Colocando um ponto qualquer da elipse, a distância entre os focos e o ponto determinado vale 2a

No entanto, existe uma fórmula apropriada que define uma elipse, que vale:

X² / a² + Y² / b² = 1 (Equação reduzida da elipse)

Sendo que.: a² = b² + c²

Sendo que x = x - xcentro e y = y - Ycentro

A excentricidade de uma elipse é determinada pela razão entre c e a, logo e = c / a.

Caso a excentricidade seja igual a 1 ou nula, a mesma não é uma elipse, mas sim uma Circunferência (Caso análogo quando b=a).

No caso da figura demonstrada, a é sempre maior que b, portanto a elipse está, de forma mais informal, "deitada". Existem caso em que na elipse, b é maior que a, logo a elipse está "em pé", entretanto a fórmula continua a mesma, o que realmente muda está em relação ao eixo maior que passa a ser 2b não mais 2a.

Com relação a elipse, o centro da mesma pode situar-se fora do ponto 0,0 do encontro dos eixos cartesianos ou mesmo a elipse pode sofrer uma modificação no angulo em que está imposta na superfície, denominada Rotação. Em fato, o mais interessante e utilizado está na modificação do centro da elipse, denominada de Translação.

Exemplo : Determine os pontos do centro da elipse e a sua equação reduzida dada

9x² + 5y² + 18x - 30y + 9 = 0

Considerando que o sinal de + que soma os termos quadráticos, podemos afirmar que a mesma é uma elipse e não uma circunferência pois os fatores que multiplicam x² e y² (9 e 5 respectivamente) são diferentes.

Como o deslocamento é uma soma ao termo x ou y, podemos afirmar que

x = h + a (A incógnita a vale o deslocamento horizontal)

y = v + b (A incógnita b vale o deslocamento vertical)

substituindo na equação, temos

9 (h + a)² + 5 (v + b)² + 18 (h +a) - 30(v + b) + 9 = 0 .: Realizando a distributiva temos

9h² + 18ha + 9a² + 5v² + 10vb + 5b² + 18h + 18a - 30v - 30b + 9 = 0.: O objetivo é fazer voltar a elipse para a origem, portanto temos que igualar h e v a zero para assim descobrir o deslocamento de a e b na horizontal e vertical respectivamente.

Portanto, separando termos iguais temos

9h² + 9a² + 5v² + 5b² + h(18a + 18) + v (10b - 30) - 30b + 18a + 9 = 0

Como h e v tem que voltar a origem zero temos:

18a + 18 = 0 .: a = -1

10b - 30 = 0 .: b = 3

Substituindo os valores na equação de a = -1 e b = 3

9h² + 9 (-1)² + 5v² + (3)² + h (0) + v(0) - 30(3) + 18(-1) + 9 = 0

9h² + 5v² + 9 + 9 -90 -18 + 9 = 0

9h² + 5v² = 81 (dividindo tudo por 81)

h²/9 + 5v²/81 = 1

Temos que x = h + a logo h = x - a e y = v + b logo v = y - b

(x + 1)² / 9 + (y-3)² / (81/5) = 1.: o centro da elipse vale (-1, 3)

Feito por Andrey J.

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Estudo de cônicas - Circunferências

Cônicas - As circunferências fazem parte do estudo de cônicas e ainda é uma matéria muito cobrada nos vestibulares, principalmente a partir do novo formato da fuvest que começou no ano de 2008 e, sem dúvida com a modificação do ENEM como instrumento de peso para aprovação nas melhores faculdades do país, será uma matéria importante a ser analisada.

Bem, ao iniciar o estudo de circunferências, devemos observar os pontos principais da circunferência, que são o Centro (Xa, Ya) e o raio que determina o "tamanho" da circunferência. Com esses dados, chegamos que a equação geral da circunferência vale:

(x - Xa)² + (y - Ya)² = R² (Equação simplificada da circunferência)

x² + y² - 2Xax - 2Yay- Xa² + Ya² - R² = 0 (Equação geral da circunferência)

A equação reduzida da circunferência funciona apenas como uma forma mais "contraída" de entendimento da equação, entretanto a forma mais correta de aparecer está na forma geral pois existem muitos casos em que a circunferência não se encontra no encontro dos eixos P(0,0).

Exemplo: A circunferência está no ponto (3,2) e o raio vale 5, logo demonstre na equação geral e na equação reduzida.

Logo, (x-3)² + (y-2)² = 25; e para realizarmos a demonstração da equação geral basta realizar a distributiva:

x² - 6x + 9 + y² -4y + 4 - 25 = 0 .: x² + y² - 6x -4y -12 = 0

Entretanto, existem casos que é necessário retornar da equação geral para a equação simplificada mas não são dados nenhuma informação sobre a equação. Existem duas formas de resolução desse tipo de exercício

Exemplo: Dado x² + y² - 2x - 3y - 3/2 = 0, ache o centro e o raio

1ª Separar fatores de mesmo termo

X² - 2x + Y² - 3y - 3/2 = 0 .:

Para relembrar, vimos que a equação geral vale

(x - Xa)² + (y - Ya)² = R²

logo, (x - Xa) * (x - Xa) + (y - Ya) * (y - Ya) = R²

Basta observar que os valores separados são exatamente as respostas

2ª Igualar os fatores a equação simplificada

X² - 2x = (x - ....) + (x - ....); logo os espaços vazios podem ser preechidos com Xa = 1 pois

X² - 2x +1 = (X-1)²

Y² - 3y = (y - ...) + (y - ....); nesse caso ficou um pouco mais dificil, mas o valor encontrado é Ya = 3/2 pois Y² - 3y + 9/4 = (y-3/2)²

3ª Voltar a equação com os novos valores que não contêm na fórmula geral, que são os valores +1 e +3/2

(x - 1) ² + (y- 3/2) + (1 + 9/4 -3/2) = 0 .: (x - 1) ² + (y - 3/2)² = 19/4

Logo R² = 19/4 .: R = Raiz de 19 /2.

Para os mesmos resultados existem uma segunda forma, na qual:

X² + y² - 2Xax - 2Yay - Xa² + Ya² - R² = 0

Com a equação de base do exercício:

x² + y² - 2x - 3y - 3/2 = 0

O valor que multiplica x e y são os valores 2Xa e 2Ya (lembrando que Xa e Ya são x e y do centro)

Portanto:. Xa = 2/2 = 1; Ya = 3/2

O raio pode ser deduzido a partir da equação principal e a função vale Xa² + Ya² - R² = 3/2

1² + 3/2 ² -R² = 3/2

Resolvendo a equação, temos que R² = 19/4

Não são circunferências quando:

* Se existir termo diferente da equação geral como (xy);

*Se os valores que multiplicam x² e y² forem diferentes. :Exemplo (3x² - y²);

*Se o raio for menor que zero, ou seja, na equação simplificada a igualdade for negativa (exemplo : x² - (y-2)² = -15;

Exercício: Determine se existe pontos de intersecção das circunferências abaixo e a equação da reta que une os pontos de intersecção (Se existir)

Y1 : X² + Y² - 2x - 10y + 22 = 0

Y2 : X² + Y² - 8x -4y + 10 = 0

Como são pontos de intersecção, existe coincidência entre as equações, logo basta realizar um sistema entre as equações ou simplesmente igualar

X² + Y² - 2x - 10y + 22 = X² + Y² - 8x -4y + 10 .: resolvendo

6x - 6y + 12 = 0 .: Divindo tudo por 6 temos x - y + 2 = 0 logo y = x + 2(equação da reta).

Agora basta substituir em qualquer uma das equações

Escolhendo a primeira temos

X² + (x + 2)² - 2x -10(x+2) + 22 = 0

temos que X´=3 e X´´ = 1

Para cada X existe um Y respectivo, basta substituir em y = x + 2.

Logo, Y´ = 5 e Y´´ = 3; portanto os pontos vale (3,5) e (1,3).

Caso ainda haja duvidas o espaço de perguntas encontra-se abaixo

Andrey J.

Como fazer qualquer gráfico utilizando conceito de derivada?

Gráficos - Talvez uma grande dificuldade que existe para muitos é confeccionar gráficos pois nem sempre é possivel obter pontos dos eixos. Por isso, o conceito de derivada possibilita fazer gráficos de qualquer expoente ou mesmo com logarítmico, exponencial ou potência de potência.

Vejamos a seguinte equação:

f(x) = -X³ + 3x + 2; como é uma equação do terceiro grau, podemos afirmar que a forma de onda tende a ser uma parábola

Ao aplicar a primeira derivada, a resposta será um estudo do sinal, ou seja, a partir dela será possivel observar os pontos de máximo e mínimo.

d/dx -3x² + 3 1ª derivada

Igualando ela a zero, teremos os pontos em que y=0. Analisando a função, observamos que é uma função do segundo grau de concavidade para baixo, portanto:

Logo, -3x² + 3 = 0 temos que x = + ou - 1

Com o esboço do desenho acima, observa que para x<-1 e x>1 o gráfico é estritamente decrescente e para x entre -1 e 1 é estritamente crescente

Para localizar o ponto, deve substituir os valores de x na equação principal, ou seja, na equação que necessita advinhar o gráfico.:

.: 2 + 3(-1) - (-1)³ = 0, portanto o ponto (-1,0) é minimo da função

.: 2 + 3(1) - (1)³ = 4, portanto o ponto (1,4) é ponto de máximo

Tendo os pontos de máximo e mínimo, devemos encontrar na função os locais de mudança de concavidade e o ponto de inflexão, ou seja, o ponto que determina a mudança de concavidade. A concavidade interfere no aspecto do desenho do gráfico.A segunda derivada da função remete a essa resposta

d/dx² -6x 2ªderivada

Igualando a segunda derivada a zero, encontramos o x de inflexão, portanto:

-6x = 0 .: x = 0

Analisando a função -6x, observamos que a mesma é uma reta decrescente, portanto para x maior que 0 a mesma é negativa e para x menor que 0 é sempre positiva, logo quando a mesma for positiva, afirmamos que é concava para cima, enquanto a mesma for negativa, a função terá concavidade para baixo.

Tendo o x de inflexão (x=0), basta aplicar esse valor de x na equação principal.

f(0) = 2 + 3(0) - (0)³ = 2, logo o ponto de inflexão vale (0,2)

Portanto, temos as seguintes informações do gráfico:

PONTO DE MÁXIMO .: (1,4)

PONTO DE MÍNIMO .: (-1,0)

PONTO DE INFLEXÃO .: (0,2)

PARA X menor que 0 (f (x) É CÔNCAVA PARA CIMA)

PARA X maior que 0 (f (x) É CÔNCAVA PARA BAIXO)

Basta realizar o desenho do gráfico:

Qualquer dúvida postem no espaço de perguntas